ฮิลเบิร์ตออกความท้าทายแรกจาก 23 ข้อของเขาให้กับชุมชนเว็บตรงคณิตศาสตร์ในระหว่างการบรรยายในปารีสที่ 1900 International Congress of Mathematicians คำถามซึ่งช่วยชี้แนะหลักสูตรการวิจัยคณิตศาสตร์สำหรับศตวรรษหน้าและจนถึงปัจจุบัน ครอบคลุมหลายสาขาวิชาในวิชาคณิตศาสตร์ ตรวจสอบทุกอย่างตั้งแต่พื้นฐานทางตรรกะของสาขาคณิตศาสตร์ต่างๆ ไปจนถึงปัญหาเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวนหรือเรขาคณิต
ปัญหา ที่10 เป็นคำถามเชิงลึกเกี่ยวกับข้อจำกัดของความรู้ทางคณิตศาสตร์
ของเรา แม้ว่าในตอนแรกจะดูเหมือนเป็นปัญหาที่ตรงไปตรงมามากกว่าในทฤษฎีจำนวน มันเกี่ยวข้องกับนิพจน์ที่เรียกว่าสมการไดโอแฟนไทน์ ตั้งชื่อตามไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย นักคณิตศาสตร์ขนมผสมน้ำยาในศตวรรษที่ 3 ซึ่งศึกษาสมการของแบบฟอร์มนี้ในบทความArithmetica ของเขา สมการไดโอแฟนไทน์คือสมการพหุนามที่มีตัวแปรจำนวนเท่าใดก็ได้และมีค่าสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด (จำนวนเต็มคือจำนวนเต็ม ไม่ว่าจะเป็นบวก ลบ หรือศูนย์)
เกี่ยวกับจำนวนเต็ม
วงกลมสามวงทางด้านขวาแสดงถึงสมการไดโอแฟนไทน์ x 2 +y 2 =1 (สีดำ), x 2 +y 2 =2 (สีน้ำเงิน) และ x 2 +y 2 =25 (สีส้ม) ทั้งสามมีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็ม (ทำเครื่องหมายเป็นจุดสีดำที่วงกลมตัดกันของเส้นตาราง) ยังมีสมการไดโอแฟนไทน์บางตัวที่ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม และสำหรับคนอื่นๆ นักคณิตศาสตร์ยังไม่ทราบว่าคำตอบของจำนวนเต็มมีอยู่จริงหรือไม่
สมการไดโอแฟนไทน์
ที. ทิบบิทส์
ตัวอย่างของสมการไดโอแฟนไทน์รวมถึงทุกอย่างตั้งแต่สมการเชิงเส้นอย่างง่าย เช่น 5x+y=7 (ตัวแปรคือ x และ y และค่าสัมประสิทธิ์คือ 5 และ 1) ไปจนถึงสูตรระยะทางพีทาโกรัส a 2 +b 2 =c 2 (ตัวแปรคือ a, b และ c และค่าสัมประสิทธิ์ของพวกมันคือ 1) ต่อสิ่งชั่วร้ายที่สูงตระหง่านใน googols ของตัวแปร
นักคณิตศาสตร์สนใจว่าสมการไดโอแฟนไทน์มีคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มด้วยหรือไม่ ตัวอย่างเช่น พีทาโกรัสสามตัว — ชุดของตัวเลขเช่น 3, 4 และ 5 หรือ 5, 12 และ 13 — เป็นคำตอบของสมการ a 2 +b 2 = c 2 สมการไดโอแฟนไทน์บางสมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม และบางสมการไม่มี ในขณะที่2 +b 2 =c 2 มีคำตอบของจำนวนเต็มจำนวนนับไม่ถ้วน สมการที่คล้ายกันคือ3 +b 3 =c 3 ไม่มีเลย (ยกเว้นคำตอบที่มีเลขศูนย์ ซึ่งนักคณิตศาสตร์เห็นว่าไม่น่าสนใจ)
หากสมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม คุณไม่จำเป็นต้องฉลาดมากในการหาคำตอบ คุณเพียงแค่ต้องอดทน การค้นหาด้วยกำลังเดรัจฉานในที่สุดจะให้ตัวเลขที่ใช้งานได้ (แน่นอนว่าการฉลาดขึ้นอาจหมายความว่าคุณอดทนน้อยลง) แต่ถ้าคุณไม่รู้ว่าสมการแก้ได้เป็นจำนวนเต็มหรือไม่ คุณจะไม่มีทางรู้ว่าความล้มเหลวในการหาคำตอบนั้นเป็นเพราะไม่มีอยู่จริงหรือเพราะคุณไม่มี อดทนมามากพอแล้ว
ก่อนหน้านี้ในฤดูใบไม้ร่วงนี้ นักคณิตศาสตร์ Andrew Booker จาก University of Bristol ในอังกฤษและ Andrew Sutherland จาก MIT ได้ประกาศว่าพวกเขาได้ใช้อัลกอริธึมที่ชาญฉลาดและซูเปอร์คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังร่วมกันเพื่อค้นหา 42 = −80,538,738,812,075,974 3 + 80,435,758,145,817,515 3 + 12,602,631 397,335,335 , กล่าวอีกนัยหนึ่ง สมการไดโอแฟนไทน์ x 3 +y 3 +z 3 =42 มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มเว็บตรง / บาคาร่าเว็บตรง
